Question

已知：如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=30°，OA=3．以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，⊙P与x轴的另一交点为N，点M在⊙P上，且满足∠MPN=60°．⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：

（发现）（1）的长度为多少；

（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与Rt△ABO重叠部分的面积．

（探究）当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标．

（拓展）当与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围．

Answer

【发现】（1）的长度为；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点P的坐标为；或或；【拓展】t的取值范围是或，理由见解析．

【解析】

发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；

（2）先求出PA=1，进而求出PQ，即可用面积公式得出结论；

探究：分圆和直线AB和直线OB相切，利用三角函数即可得出结论；

拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论．

[发现]

（1）∵P（4，0），∴OP=4．

∵OA=3，∴AP=1，∴的长度为．

故答案为：；

（2）设⊙P半径为r，则有r=4﹣3=1，当t=2时，如图1，点N与点A重合，∴PA=r=1，设MP与AB相交于点Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．

∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cos30°，∴S重叠部分=S△APQPQ×AQ．

即重叠部分的面积为．

[探究]

①如图2，当⊙P与直线AB相切于点C时，连接PC，则有PC⊥AB，PC=r=1．

∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=1；

∴点P的坐标为（1，0）；

②如图3，当⊙P与直线OB相切于点D时，连接PD，则有PD⊥OB，PD=r=1，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cos∠OPD，∴OP，∴点P的坐标为（，0）；

③如图4，当⊙P与直线OB相切于点E时，连接PE，则有PE⊥OB，同②可得：OP；

∴点P的坐标为（，0）；

[拓展]

t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5，理由：

如图5，当点N运动到与点A重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2；

当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，由探究①得：OP=1，∴t3，与Rt△ABO的边有两个公共点，∴2＜t≤3．

如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=4；

直到⊙P运动到点N与点O重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=5；

∴4≤t＜5，即：t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5．