Question

观察下列关于自然数的等式： 3²﹣4×1²=5① 5²﹣4×2²=9②   7²﹣4×3²=13③  ……

根据上述规律解决下列问题：

（1）写出第四个等式：                                          ；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

Answer

（1）（2），见解析.

【解析】

由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，用（2n+1）2表示，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，表示为4n2，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，即2（2n+1）-1=4n+1，由此规律得出答案即可．

【解析】
（1）32-4×12=5    ①
52-4×22=9    ②
72-4×32=13   ③
…
所以第四个等式：92-4×42=17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=4n+1．
验证：左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，
右边=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）2-4n2=4n+1．

故答案为：（1）92-4×42=17；（2）（2n+1）2-4n2=4n+1，见解析.