Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，E为CD上一点，连接AE交BD于点F，G为AF的中点，连接DG．

（1）如图1，若DG=DF=1，BF=3，求CD的长；

（2）如图2，连接BE，且BE=AD，∠AEB=90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM=BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN=∠AFB．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）由垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形的性质得到DG=GF，根据勾股定理即可得到结论；

（2）连接DH，HE，根据已知条件得到A，D，E，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠DHE=2∠DAE，求得∠DGF=2∠DAE，推出∠GDH=∠HEG，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠ABD，求得∠HBN=∠HDM，根据全等三角形的性质得到∠BHN=∠DHM，得到∠BHD=∠MHN，等量代换即可得到结论．

（1）∵BD⊥AD，

∴∠ADB=90°，

∵G为AF的中点，

∴DG=GF，

∵DG=DF=1，

∴GF=DG=DF=1，

∴AF=2，

∵AD==，

∵BF=3，

∴BD=4，

∴AB==，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=；

（2）连接DH，HE，

∵AD⊥BD，AE⊥BE，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵H为AB的中点，

∴DH=BH=EH=AH=AB，

∵∠ADB=∠AEB=90°，

∴A，D，E，B四点共圆，

∴∠DHE=2∠DAE，

∵AG=DG，

∴∠DGF=2∠DAE，

∴∠DGF=∠DHE，

∴∠GDH=∠HEG，

∵AD=BE，

∴∠EAB=∠ABD，

∵∠EAB=∠AEH，

∴∠HBN=∠AEH，

∴∠HBN=∠HDM，

在△HDM与△HBN中，，

∴△HDM≌△HBN（SAS），

∴∠BHN=∠DHM，

∴∠BHD=∠MHN，

∵∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF，

∠DHB=180°-∠HDB-∠HBD，

∴∠AFB=∠DHB，

∴∠MHN=∠AFB．