Question

“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADE+S_△ABE得：（a+b）²=2×ab+c²，化简得：a²+b²=c²．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x²+ax=b²的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=|b|，再在斜边AB上截取BD=，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例二图）．

请根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______，乙图要证明的数学公式是______，体现的数学思想是______；

（2）如图2，若2和-8是关于x的方程x²+ax=b²的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；

（3）若x，y，z都为正数，且x²+y²=z²，请用构造图形的方法求的最大值．

Answer

（1）完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想（2）（3）

【解析】

（1）利用面积法解决问题即可．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H．由题意，AD=2，BC=BD=3，AC=4，利用面积法求出CH，BH，DH即可解决问题；

（3）如图3中，用4个全等的直角三角形（直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形．当x+y是定值时，z最小的时候，定值最小，易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时x=y，z=x，由此即可解决问题．

（1）如图1中，图甲大正方形的面积=（a+b）2=a2+2ab+b2，

图乙中大正方形的面积=a2=（a-b）2+b2+2b（a-b），

即a2-b2=（a-b）（a-b+2b）=（a+b）（a-b）．

甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，体现的数学思想是数形结合的思想．

故答案为：完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H．

由题意，AD=2，BC=BD=3，AC=4，

∵•AC•BC=•AB•CH，

∴CH= ，

∴BH=，

∴DH=BD-BH=，

∴CD=．

（3）如图3中，用4个全等的直角三角形（直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形．

当x+y是定值时，z最小的时候，定值最小，

易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时x=y，z=x，

∴最大值=．