Question

如图，抛物线y=与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC．过点A作AD∥BC交抛物线于点D（8，10），点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交线段AD于点E．

（1）如图1．当PE+AE最大时，分别取线段AE，AC上动点G，H，使GH=5，若点M为GH的中点，点N为线段CB上一动点，连接EN、MN，求EN+MN的最小值；

（2）如图2，点F在线段AD上，且AF：DF=7：3，连接CF，点Q，R分别是PE与线段CF，BC的交点，以RQ为边，在RQ的右侧作矩形RQTS，其中RS=2，作∠ACB的角平分线CK交AD于点K，将△ACK绕点C顺时针旋转75°得到△A′CK′，当矩形RQTS与△A′CK′重叠部分（面积不为0）为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围．

Answer

（1）2-（2）当xP=2-1或2＜xP＜6-6时，矩形RQRS和△A′CK′重叠部分为轴对称图形

【解析】

（1）先通过二次函数解析式求出点A，B的坐标，再求出AC，AB，CB的长度，用勾股定理逆定理证直角三角形，求出直线AD的解析式，用含相同字母的代数式分别表示E，Q，P的坐标，并表示出EP长度，求出AE长度，根据二次函数的性质求出EA+EP最大值时点E的坐标．最后作出点E关于CB的对称点，利用两点之间线段最短可求出结果；

（2）由旋转的性质得到三角形CA′K与三角形CAK全等，且为等腰直角三角形，求出A′，K′的坐标，求出直线A′K′及CB的解析式，求出交点坐标，通过图象观察出P的横坐标的取值范围．

（1）在抛物线y=x2-x-6中，

当y=0时，x1=-2，x2=6，

当x=0时，y=-6，

∵抛物线y=x2-x-6与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，

∴A（-2，0），B（6，0），C（0，-6），

∴AB=8，AC=，BC=，

在△ABC中，

AC2+BC2=192，AB2=192，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=90°，

过点D作DL⊥x轴于点L，

在Rt△ADL中，

DL=10，AL=10，

tan∠DAL==，

∴∠DAB=30°，

把点A（-2，0），D（8，10）代入直线解析式，

得，

解得k=，b=2，

∴yAD=x+2，

设点E的横坐标为a，EP⊥y轴于点Q，

则E（a，a+2），Q（a，0），P（a，a2-a-6），

∴EQ=a+2，EP=a+2-（a2-a-6）=a2+a+8，

∴在Rt△AEB中，

AE=2EQ=a+4，

∴PE+AE=a+4+（a2+a+8）

=a2a+12

=（a-5）2+

∴根据函数的性质可知，当a=5时，PE+AE有最大值，

∴此时E（5，7），

过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，

则∠EAC=∠ACB=∠ACF=90°，

∴四边形ACFE是矩形，

作点E关于CB的对称点E'，

在矩形ACFE中，由矩形的性质及平移规律知，

xF-xE=xC-xA，yE-yF=yA-yC，

∵A（-2，0），C（0，-6），E（5，7），

∴xF-5=0-（-2），7-yF=0-（-6），

∴xF=7，yF=1，

∴F（7，1），

∵F是EE′的中点，

∴，，

∴xE′=9，yE′=-5，

∴E'（9，-5），

连接AE'，交BC于点N，则当GH的中点M在E′A上时，EN+MN有最小值，

∴AE′==2，

∵M是Rt△AGH斜边中点，

∴AM=GH=，

∴EN+MN=E′M=2-，

∴EN+MN的最小值是2-．

（2）在Rt△AOC中，

∵tan∠ACO==，

∴∠AOC=30°，

∵KE平分∠ACB，

∴∠ACK=∠BCK=45°，

由旋转知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′=75°，

∴∠OCA′=75°-∠ACO=45°，∠AC′K′=45°，

∴OCK′=90°，

∴K′C⊥y轴，△CAK′是等腰直角三角形，

∴A′C=AC=4，

∴xA′==2，yA′=2-6，

∴A′（2，2-6），

∴K′（4，-6），

将A′（2，2-6），K′（4，-6），代入一次函数解析式，

得，

解得k=-1，b=4-6，

∴yA′K′=-x+4-6，

∵CB∥AD，

∴将点C（0，-6），B（6，0）代入一次函数解析式，

得，

解得k=，b=-6，

∴yCB=x-6，

联立yA′K′=-x+4-6和yCB=x-6，

得-x+4-6=x-6，

∴x=6-6，

∴直线CB与A′K′的交点横坐标是6-6，

∵当EP经过A′时，点P的横坐标是2，

∴如图2，当2＜xP＜6-6时，重叠部分是轴对称图形；

如图3，由于RS的长度为2，由图可看出当xP=2-1时，重叠部分同样为轴对称图形；

综上，当xP=2-1或2＜xP＜6-6时，

矩形RQRS和△A′CK′重叠部分为轴对称图形．