Question

点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（   ）

A. 75° B. 60° C. 30° D. 45°

Answer

D

【解析】

过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．

过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPF=90°，

∴∠ADP=∠EPF，

在△APD和△FEP中，

∵，

∴△APD≌△FEP（AAS），

∴AP=EF，AD=PF，

又∵AD=AB，

∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，

∴AP=BF，

∴BF=EF，又∠F=90°，

∴△BEF为等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，

则∠CBE=45°．

故选D．