Question

如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．

（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；

（2）当AE＝1时，求PQ的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）①只要证明△ADE≌△CDE（ASA）即可解决问题；

②利用相似三角形的性质证明∠PDQ＝45°即可解决问题；

（2）作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；

（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，

∴∠ADC＝∠MDN＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDE（ASA），

∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDE（ASA），

∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，

∴∠DEF＝45°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，

∴△AQD∽△EQP，

∴ ，

∴，

∵∠AQE＝∠PQD，

∴△AQE∽△DQP，

∴∠DDP＝∠QAE＝45°，

∴∠DPE＝90°，

∴DP⊥EF，

∵DE＝DF，

∴PE＝PF，

∴DP垂直平分线段EF．

（2）【解析】
作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G．

在Rt△ADE中，DE＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x，

∵×4×x+×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝ ．