Question

如图1所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． 

（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数，并说明理由；

（2）若∠B=α，∠C=β（α<β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系.

Answer

（1）20°；（2）∠DAE=．

【解析】

（1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数；然后根据角平分线的性质，求出∠BAE、∠CAE的度数是多少；最后根据三角形的外角的性质，求出∠AED的度数，进而求出∠DAE的度数是多少即可．

（2）根据（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：∠DAE，然后根据（1）中求解的方法，证明猜想的正确性即可．

（1）∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣70°=80°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=80°÷2=40°．

∵∠AED=∠B+∠BAE=30°+40°=70°，∴∠DAE=90°﹣70°=20°．

（2）根据（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：∠DAE．证明如下：

∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°﹣α﹣β．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=（180°﹣α﹣β）÷2=90°．

∵∠AED=∠B+∠BAE=α+（90°）=90°，∴∠DAE=90°﹣（90°．