Question

有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A=30°；图②中，∠D＝ 90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动(移动开始时点D与点A重合)．

(1) △DEF在移动的过程中，若 D、E两点始终在AC边上，

①F、C两点间的距离逐渐_______；连接FC，∠FCE的度数逐渐_______．（填“不变”、“变大”或“变小”）

②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；

(2)△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；

(3)能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？如果能，请求出∠CFE的度数．如果不能，请说明理由.

Answer

（1）①变小，变大；②∠FCE与∠CFE度数之和为定值45°；（2）∠FCE与∠CFE度数之和为定值135°；（3）∠CFE=15°．

【解析】

（1）①利用图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律；

②利用外角的性质得出∠FCE+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案；

（2）利用外角的性质得出∠FCE+∠CFE=∠FEG=135°，即可得出答案；

（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数．

（1）①F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大．

故答案为：变小，变大；

②∠FCE与∠CFE度数之和为定值．理由如下：

∵∠D=90°，∠DFE=45°．

又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°，∴∠FED=45°．

∵∠FED是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE=∠FED=45°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（2）如图，∠FCE与∠CFE度数之和为定值．理由如下：

∵∠FDE=90°，∠EFD=45°．

又∵∠FDE+∠EFD +∠FED=180°，∴∠FED=45°．

∵∠FEG是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE=∠FEG=135°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE=∠A=30°．

又∵∠CFE+∠FCE=45°，∴∠CFE=45°﹣30°=15°．