Question

如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的长．

Answer

（1）见解析；（2）4.

【解析】

试题（1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；

（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，AB=，∴AC=BC=AB=，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=，∴AP=AC•cot∠APC=2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=，∠ACD=60°，∴AD=AC•tan∠ACD=6，∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．