Question

如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE＝CF．

（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若AB＝2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长；

（3）如图3，在（2）的条件下，作FQ∥DG交AB于点Q，请直接写出FQ的长．

Answer

（1）BE＝AF，BE⊥AF;（2）GD是∠EGF的角平分线，证明见解析，GD＝；（3）FQ＝.

【解析】

（1）根据已知条件可先证明△BAE≌△ADF，得到BE=AF，再由角的关系得到∠AGE＝90°从而证明BE⊥AF；

（2）过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，根据勾股定理和三角形的面积相等求出DN，然后证明△AEG≌△DEM，得到DN＝DM，再根据角平分线的性质可证明GD平分∠EGF，进而在等腰直角三角形中求得GD；

（3）过点G作GH∥AQ交FQ于H，可得到四边形DFHG是平行四边形，进而可得△FGH∽△FAQ，然后根据三角形相似的性质可求得FQ.

【解析】
（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由：

四边形ABCD是正方形，

∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，

∵DE＝CF，

∴AE＝DF，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠AEB＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∴BE⊥AF

（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF＝，

∵S△ADF＝AD×FD＝AF×DN，

∴DN＝，

∵△BAE≌△ADF，

∴S△BAE＝S△ADF，

∵BE＝AF，

∴AG＝DN，

∵AE=DE,∠MED=∠AEG，∠DME=∠AGM，

∴△AEG≌△DEM（AAS），

∴AG＝DM，

∴DN＝DM，

∵DM⊥BE，DN⊥AF，

∴GD平分∠MGN，即GD平分∠EGF，

∴∠DGN＝∠MGN＝45°，

∴△DGN是等腰直角三角形，

∴GD＝DN＝；

（3）如图3，由（2）知，GD＝，AF＝，AG＝DN＝，

∴FG＝AF﹣AG＝，

过点G作GH∥AQ交FQ于H，

∴GH∥DF，

∵FQ∥DG，

∴四边形DFHG是平行四边形，

∴FH＝DG＝，

∵GH∥AQ，

∴△FGH∽△FAQ，

∴，

∴ ，

∴FQ＝.