Question

如图1，直线y＝﹣x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．

（1）求点B的坐标；

（2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；

（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．

Answer

（1）B（3，0）（2）G（2，2）;（3）E（﹣2，0）．

【解析】

（1）根据题意可先求出点A和点D的坐标，然后根据勾股定理求出AD，设BC=OB=x，则BD=8-x，在直角三角形BCD中根据勾股定理求出x，即可得到点B的坐标；

（2）由点A和点B的坐标可先求出AB的解析式，然后作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，求证△DMG≌△FND，从而得到GM＝DN，DM＝FN，又因为G、F在直线AB上，进而可求点G的坐标；

（3）设点Q（a，-a+6），则点P的坐标为（a，-a+6），据此可求出PQ，作QH⊥x轴于H，可以把QH用a表示出来，在直角三角形中，根据勾股定理也可以用a把QH表示出来，从而求出a的值，进而求出点E的坐标.

【解析】
（1）对于直线y＝-x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，

∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴B（3，0）．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，

∵B（3，0），

∴3k+6＝0，

∴k＝﹣2，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，

作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，

∴△DMG≌△FND（AAS），

∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

∵G、F在直线AB上，

∴ ，

解得 ，

∴G（2，2）．

（3）如图，设Q（a，﹣a+6），

∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，

∴P（a，﹣a+6），

∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H，

∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，

∴＝，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

∴QH＝DQ=PQ＝a，

∴a＝a﹣6，

∴a＝16，

∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），

∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），

∴E（﹣2，0）．