Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0）．有下列结论：①abc＞0；②25a﹣10b+4c=0；③a﹣2b+4c=0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是_____（填写正确结论的序号）．

Answer

①②④

【解析】

首先根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y的交点可判断出a、b、c的符号，可确定①的正误；然后根据抛物线的对称轴为x＝－1和抛物线与x轴的交点，可分别推得②③④⑤的正误.

①由抛物线的开口向下可得：a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵抛物线的对称轴是x＝－1．且过点（，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），

当x＝时，y＝0，即=0，

整理得：25a－10b＋4c＝0，故②正确；

③直线x＝－1是抛物线的对称轴，所以＝－1，

解得b＝2a，

∴a－2b＋4c＝a－4a＋c＝－3a＋c.

∵a＜0，

∴-3a＞0.

∵c＞0，

∴-3a＋c＞0.

即a－2b＋4c＞0，故③错误；

④∵x＝－1时，函数值最大，

∴a－b＋c（m≠1），

∴a－bm(am－b)，所以④正确；

⑤∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

∵b=2a，a=

∴ +b+c＜0

∴3b＋2c＜0，故⑤错误.

故答案为：①②④．