Question

如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

（1）证明：ABCD=PBPD.

（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．

（3）用以上方法解决下列问题：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

Answer

（1）（2）见解析；（3）（，）．

【解析】

试题（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
（2）与（1）的证明思路相同；
（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．

试题解析：

（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴AB•CD=PB•PD；

（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．

理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠CDP=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴AB•CD=PB•PD；

（3）设抛物线解析式为（a≠0），

∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），

∴， 把（0，-3）带入

得 y=x2-2x-3，

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴顶点P的坐标为（1，-4），

过点P作PC⊥x轴于C，过点Q向x轴作垂线，垂足为E.

设QE=m，由第(2)题结论得AE=2m，则Q点坐标为（2m -1，m）带入y=x2-2x-3，

解得m=或m=0（舍去），把y=带入y=x2-2x-3，解得x=或x=（舍去）

∴点Q的坐标为（，）