Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°.

（1）求B、C两点的坐标；

（2）过点G（0,-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式；

（3）在⑵的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；(2) y=x-6；(3) （3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．

【解析】

试题（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；

（2）先求出直线DE的斜率，设直线DE的解析式是y=x+b，再把点G代入求出b的值即可；

（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得P的坐标．

试题解析：（1）在直角△OAC中，

∵∠ACO=30°

∴tan∠ACO=，

∴设OA=x，则OC=3x，

根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，

即9x2+3x2=144，

解得：x=2．

故C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；

（2）∵直线AC的斜率是：-，

∴直线DE的斜率是：．

∴设直线DE的解析式是y=x+b，

∵G（0，-6），

∴b=-6，

∴直线DE的解析式是：y=x-6；

（3）∵C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；

∴A（0，6），

∴设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，

解得．

∴直线AC的解析式为y=-x+6．

∵直线DE的解析式为y=x-6，

∴，

解得．

∴F是线段AC的中点，

∴OF=AC=6，

∵直线DE的斜率是：．

∴DE与x轴夹角是60°，

当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，

则∠POC=60°或120°．

当∠POC=60°时，过N作NG⊥y轴，则PG=OP•sin30°=6×=3，

OG=OP•cos30°=6×=3，则P的坐标是（3，3）；

当∠NOC=120°时，与当∠POC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3）；

当OF是对角线时（如图2），MP关于OF对称．

∵F的坐标是（3，3），

∴∠FOD=∠POF=30°，

在直角△OPH中，OH=OF=3，OP==2．

作PL⊥y轴于点L．

在直角△OPL中，∠POL=30°，

则PL=OP=，

OL=OP•cos30°=2×=3．

故P的坐标是（，3）．

当DE与y轴的交点时G，这个时候P在第四象限，

此时点的坐标为：（3，-3）．

则P的坐标是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．