Question

如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在轴上，点C在轴上，点B（4，4），点E在BC边上．将△ABE绕点A 顺时针旋转90°，得△AOF，连接EF交轴于点D．

（Ⅰ）若点E的坐标为（，）．求

（1）线段EF的长；

（2）点D的坐标；

（Ⅱ）设点E（，），，试用含的式子表示，并求出使取得最大值时点E的坐标．

Answer

（Ⅰ）（1）;（2）点D的坐标为（0，）；（Ⅱ）,点E的坐标为（4，2）时，S有最大值．

【解析】

试题（Ⅰ）（1）由旋转的性质知：△ABE≌△AOF，从而可知CF、EC的长度，利用勾股定理可求EF的长；

（2）求出直线EF的解析式，令x=0，得y的值，从而可求出D点坐标．

（Ⅱ）分别用含有m的代数式表示和，从而S的代数式可以确定，最后利用二次函数的性质求出点E的坐标即可．

试题解析：由旋转的性质知：△ABE≌△AOF，

∴AB=AO，BE=OF

∵B（4，4），E（4,3）

∴OF=BE=1,AB=OC=4,

∴FC=5,EC=3

由勾股定理得：EF=．

（2）由（1）知:E（4,3），F（-1，0）

设直线EF的解析式为：y=kx+b,把E（4,3），F（-1，0）代入得：

解得：

∴直线EF的解析式为：

令x=0，则y=，

∴点D的坐标为（0，）；

（Ⅱ）∵点E（4，m）

∴EC=m，BE=4-m，OF=4-m,FC=8-m

∴=,=

∴

=

=

=

∴当m=2时，S有最大值

故当点E的坐标为（4，2）时，S有最大值．