Question

如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；

（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S_△ACP＝S_△BDP，请求出此时点P的坐标；

（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n＋1|，S△BDP＝×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；

（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．

（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，

∴a＝－1，b＝－1，

∴A（－1，3），B（3，－1），

∵点A（－1，3）在反比例函数y＝上，

∴k＝－1×3＝－3，

∴反比例函数解析式为y＝；

（2）设点P（n，－n＋2），

∵A（－1，3），

∴C（－1，0），

∵B（3，－1），

∴D（3，0），

∴S△ACP＝AC×|xP−xA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xB−xP|＝×1×|3−n|，

∵S△ACP＝S△BDP，

∴×3×|n＋1|＝×1×|3−n|，

∴n＝0或n＝−3，

∴P（0，2）或（−3，5）；

（3）设M（m，0）（m＞0），

∵A（−1，3），B（3，−1），

∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，

∵△MAB是等腰三角形，

∴①当MA＝MB时，

∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，

∴m＝0，（舍）

②当MA＝AB时，

∴（m＋1）2＋9＝32，

∴m＝−1＋或m＝−1−（舍），

∴M（−1＋，0）

③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，

∴m＝3＋或m＝3−（舍），

∴M（3＋，0）

即：满足条件的M（−1＋，0）或（3＋，0）．