Question

如图1，已知二次函数y＝ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为D，对称轴交x轴于点E．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N．是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接CE(如图2)，设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标．

Answer

(1)y=x2﹣x﹣2；(2)点M坐标为(1﹣，﹣)；(3)点P的坐标为(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．

【解析】

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）先求出顶点D(1，﹣)，则DE＝，根据四边形DMEN是菱形，点M的纵坐标为﹣，令x2﹣x﹣2＝﹣，解方程，即可求出点M坐标.

（3）分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP两种情况进行讨论.

【解析】
(1)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，

将点C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，

解得a＝，

则抛物线解析式为

(2)∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，

∴顶点D(1，﹣)，即DE＝，

∵四边形DMEN是菱形，

∴点M的纵坐标为﹣，

则x2﹣x﹣2＝﹣，

解得x＝1±，

∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，

∴x＜1，

则x＝1﹣，

∴点M坐标为(1﹣，﹣)；

(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，

∴OC＝2，OE＝1，

如图，设P(m， m2﹣m﹣2)(m＞1)，

则PQ＝|m2﹣m﹣2|，EQ＝m﹣1，

①若△COE∽△PQE，则 即

解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，

此时点P坐标为(5，8)或(2，﹣2)；

②若△COE∽△EQP，则即

解得m＝(负值舍去)或m＝，

此时点P的坐标为(，)或(，)；

综上，点P的坐标为(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．