Question

如图在正方形ABCD中，点M为BC边上一点，，以M为直角顶点作等腰直角三角形MEF，点E在对角线BD上，点F在正方形外EF交BC于点N，连CF，若，，则______．

Answer

【解析】

分别过点E、F作EP⊥BC，FQ⊥BC，垂足分别为P、Q，

∴∠BPE=∠EPM=∠FQM=∠FQN=90°，∴EP//FQ，

∴∠PEM+∠EMP=90°，

∵∠EMP+∠QMF=∠EMF=90°，

∴∠PEM=∠QMF，

又∵ME=MF，∴△PEM≌△QMF，∴PE=MQ，PM=FQ，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵∠BPE =90°，∴∠BEP=45°=∠EBP，

∴BP=PE=BE=，

∴BM=+PM=+FQ，

∵BM=4CM，S△CMF＝=3，

∴FQ=3，

∴PQ=PM=MQ=3-=2，

∵EP//FQ，∴△EPN∽△FQN，∴EP：FQ=PN：NQ，

即：：3=（2-NQ）：NQ，

∴NQ=，

∴MN=NQ+MQ=+=，

故答案为：.