Question

如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．

（1）求证：直线l是⊙O的切线；

（2）若PA=6，求PB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）PB=．

【解析】

（1）如图，连接DE，OA，根据垂径定理证明OA⊥BF即可；

（2）如图，作OH⊥PA于H，只要证明△AOH∽△PAB，可得，即可解决问题．

（1）如图，连接DE，OA，

∵PD是直径，

∴∠DEP=90°，

∵PB⊥FB，

∴∠DEP=∠FBP，

∴DE∥BF，

∵，

∴OA⊥DE，

∴OA⊥BF，

∴直线l是⊙O的切线；

（2）如图，作OH⊥PA于H，

∵OA=OP，OH⊥PA，

∴AH=PH=3，

∵OA∥PB，

∴∠OAH=∠APB，

∵∠AHO=∠ABP=90°，

∴△AOH∽△PAB，

∴，

∴，

∴PB=．