Question

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．

（1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　   　的距离等于到　    　的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

Answer

（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4）

【解析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；

（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；

（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；

（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．

（1）由x=2，得到P（2，y），

连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，

∴PB⊥x轴，即PB=y，

由AP=PB，得到=y，

解得：y=，

则圆P的半径为；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；

故答案为：点A；x轴；

（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，

设PE=a，则有EF=a+1，ED=，

∴D坐标为（1+，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣（舍去），即PE=﹣2+，

在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，

则cos∠APD==﹣2．