Question

如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y=x²﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．

（1）求b的值以及点D的坐标；

（2）求△BCD的面积；

（3）连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（4）在抛物线上是否存在点Q，使得以A、C、Q为顶点且以AC为直角边的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）b=2 ；D（1，-4）．（2）3；（3）存在，（0，0）（9，0）．（4）（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；

【解析】

（1）把点A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3中，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）先求得点B的坐标，然后由S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC，即可求得答案；

（3）根据相似三角形的性质，分两种情况，得出AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标．

（4）利用两点间的距离公式和勾股定理求得答案；

【解析】
（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx-3，得1+b-3=0，
解得b=2．

∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴D（1，-4）．

（2）

∴C（0，-3），
点B与A关于直线x=1对称，
∴点B（3，0），
设直线x=1交x轴于点M，
∴OM=1，BM=3-1=2，DM=4，

∴S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC=×2×4+×（3+4）×1-×3×3=3；

（3）如图，当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，即A（-1，0），B（3，0），D（1，-4）．

由勾股定理，得BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，
①当△APC∽△DCB时，＝，即，解得AP=1，即P（0，0）．
②当△ACP∽△DCB时，，即，解得AP=10，即P′（9，0）．
综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）．

（4）设Q点坐标为（m，m 2-2m-3）

当∠QCA=90°，由AC2+CQ2=AQ2

得到：32+（-1）2+（m 2-2m-3+3）2+m 2=（m+1）2+( m 2-2m-3)2，
解得m=0或；

则Q点坐标为（0，-3）或（，-）

当∠QAC=90°，由AC2+AQ2=CQ2

得到：32+（-1）2 +（m+1）2+( m 2-2m-3)2=（m 2-2m-3+3）2+m 2，
解得m=-1或；
则Q点坐标为（-1，0）或（，）

综上所述，Q点坐标为（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；