Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

(1)求点A、B的坐标，并求边AB的长；

(2)求点C和点D的坐标；

(3)在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小，请求出M点的坐标，并直接写出△MDB的周长最小值．

Answer

(1)A(﹣4，0)，B(0，2)；AB=2；(2)D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；(3)M坐标为(﹣2，0)，△MDB的周长为2+6．

【解析】

(1)对于直线解析式，分别令x＝0与y＝0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；

(2)过D作DE垂直于x轴，过C作CF垂直于y轴，根据四边形ABCD的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS得到△EDA，△AOB以及△BFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE＝OA＝BF＝4，AE＝OB＝CF＝2，进而求出OE与OF的长，即可确定出D与C的坐标；

(3)找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周长最小，设直线DB′解析式为y＝kx+b，把D与B′坐标代入求出k与b的值，确定出直线DB′解析式，令y＝0求出x的值，确定出此时M的坐标即可．

【解析】
(1)对于直线y＝x+2，

令x＝0，得到y＝2；令y＝0，得到x＝﹣4，

∴A(﹣4，0)，B(0，2)，即OA＝4，OB＝2，

则AB＝＝2；

(2)过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥y轴，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠BFC＝∠DEA＝∠AOB＝90°，

∵∠FBC+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°，

∴∠FBC＝∠OAB＝∠EDA，

∴△DEA≌△AOB≌△BFC(AAS)，

∴AE＝OB＝CF＝2，DE＝OA＝FB＝4，

即OE＝OA+AE＝4+2＝6，OF＝OB+BF＝2+4＝6，

则D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；

(3)如图所示，连接BD，找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周长最小，

∵B(0，2)，

∴B′(0，﹣2)，

设直线DB′解析式为y＝kx+b，

把D(﹣6，4)，B′(0，﹣2)代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝﹣2，

∴直线DB′解析式为y＝﹣x﹣2，

令y＝0，得到x＝﹣2，

则M坐标为(﹣2，0)，

此时△MDB的周长为2+6．