Question

如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．

（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．

①求四边形BHMM′的面积；

②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．

（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

Answer

（1）①四边形BHMM′的面积为7.5；②△DNM周长的最小值为9；（2）CP的长为或．

【解析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；

②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；

（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．

（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，

又BF：FA=1：5，

∴AH=2，

∵Rt△AHD∽Rt△MHF，

∴，

即，

∴HM=1.5，

根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，

四边形BHMM′的面积==7.5；

②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，

∵直线EF垂直平分CD，

∴CN=DN，

∵MH=1.5，

∴DM=2.5，

在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，

∴MC2=62+（2.5）2，

即MC=6.5，

∵MN+DN=MN+CN=MC，

∴△DNM周长的最小值为9；

（2）∵BF∥CE，

∴，

∴QF=2，

∴PK=PK'=6，

过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，

当点P在线段CE上时，

在Rt△PK'E'中，

PE'2=PK'2﹣E'K'2，

∴PE′=2，

∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，

∴，

即，

解得：QF′=，

∴PE=PE'﹣EE'=，

∴CP=，

同理可得，当点P在线段DE上时，CP′=，，如图4，

综上所述，CP的长为或．