Question

绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y₁（元）、生产成本y₂（元）与产量x（kg）之间的函数关系．

（1）求该产品销售价y₁（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本y₂（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

Answer

(1) 产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；(2) y2= ；(3) 该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元

【解析】

（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；

（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；

（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．

（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，

∵经过点（0，168）与（180，60），

∴，解得：，

∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=-x+168（0≤x≤180）；

（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；

当130≤x≤180时，y2=54；

当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，

∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），

∴，解得.

∴当50＜x＜130时，y2=-x+80．

综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；

（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，

①当0≤x≤50时，W=x（-x+168-70）=-（x-）2+，

∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；

②当50＜x＜130时，W=x[（-x+168）-（-x+80）]=- （x-110）2+4840，

∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；

③当130≤x≤180时，W=x（-x+168-54）=-（x-95）2+5415，

∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．

因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．