Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角AC上，以OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且.

（1）求证：CE是⊙O的切线．

（2）若tan∠ACB=，AE=8，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析；（2）AF=10.

【解析】

（1）连OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线；
（2）连EF，由AF是直径，根据直径所对的圆周角为90度得到∠AEF=90°，而∠ACB=∠3，则tan∠3=tan∠ACB，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义即可得到AF的长即 ⊙O的直径．

（1）证明：连OE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°，
而OA=OE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，∠4=∠2，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）连EF，

∵AF是直径，

∴∠AEF=90°，

∵∠ACB=∠3，

∴tan∠3=tan∠ACB=，

在

，，

,

.