Question

（2015秋•江宁区期末）如图①，已知抛物线C₁：y=a（x+1）²﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求点C的坐标及a 的值；

（2）如图②，抛物线C₂与C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移4个单位，得到抛物线C₃．C₃与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C₃上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F．

①求线段PF长的最大值；

②若PE=EF，求点P的坐标．

Answer

（1）a=1；顶点C为（﹣1，﹣4）．（2）①当x=时，PF有最大值为；②P（，）．

【解析】

试题（1）根据二次函数的性质即可直接求得顶点C的坐标，把B的坐标代入函数解析式即可求得a的值；

（2）①C2的顶点坐标是C关于x轴的对称点，且二次项系数互为相反数，据此即可求得C2的解析式，然后根据平移的性质求得C3的解析式．利用待定系数法求得直线CE的解析式，则PF的长即可利用x表示出来，然后根据二次函数的性质求得PF的最大值；

②PE=EF则P和F关于x轴对称，即纵坐标互为相反数，据此即可列方程求解．

【解析】
（1）顶点C为（﹣1，﹣4）．

∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+1）2﹣4，解得，a=1；

（2）①∵C2与C1关于x轴对称，

∴抛物线C2的表达式为y=﹣（x+1）2+4，

抛物线C3由C2平移得到，

∴抛物线C3为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，

∴E（5，0），

设直线CE的解析式为：y=kx+b，

则，解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

设P（x，﹣x2+6x﹣5），则F（x，x﹣），

∴PF=（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣）=﹣x2+x﹣=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，PF有最大值为；

②若PE=EF，∵PF⊥x轴，

∴x轴平分PF，

∴﹣x2+6x﹣5=﹣x+，

解得x1=，x2=5（舍去）

∴P（，）．