Question

（提出问题）如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．

（规律探索）

（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．

求证：①ME=NF；②MN∥BC．

（解决问题）

（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；

（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．

Answer

（1）①证明详见解析；②证明详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）①先按照要求做图，证明线段相等，通常证明所在的三角形全等，所以证明ME=NF，要证明△MEP≌△NPQ，先证明△ABP≌△DCQ，则∠APB=∠DQG，然后证明△MEP≌△NPQ（AAS）即可证得结论；②只要证出MN∥EF即可，由ME∥NF，ME=NF得出四边形EFMN是平行四边形，平行四边形的对边平行得出结论；（2）做辅助线，延长EM、FN交AD于点G、H．证明△EMP∽△MAG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及矩形的性质即可求解；（3）设PM、PN分别交AD于点E、F，利用勾股定理求出EF长，然后证明△PEF∽△PMN，根据相似三角形的对应边成比例即可求解．

试题解析：（1）①先按照要求做图，如图1：证明线段相等，通常证明所在的三角形全等，要证明ME=NF，先证明△MEP≌△NPQ，已知条件不够，所以得证明△ABP≌△DCQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD．又∵BP=CQ（已知），∴△ABP≌△DCQ（SAS），∴∠APB=∠DQG．∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF．∴△MEP≌△NPQ（AAS），∴ME=NF；②∵ME与NF都垂直于BC，∴ME∥NF，∵△MEP≌△NPQ，∴ME=NF，∴四边形EFMN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴MN∥BC；

（2）延长EM、FN交AD于点G、H．∵AB=4，BP=3，∴AM=4，PM=3．∵AD∥BC，∴EM⊥AD．∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，∴∠EMP=∠MAG．∴△EMP∽△MAG．∴，设AG=4a，则EM=×AG=3a,∵四边形ABEG是矩形，∴BE=4a,∵BP=3,∴EP=4a-3,又∵EP=MG=（4-ME）=(4-3a)=3-a，∴3-a=4a-3，解得：a=，∴AG=,同理DH=．∴MN=GH=12-×2=；（3）设PM、PN分别交AD于点E、F．∵AD∥BC和折叠角相等，∴∠EPA=∠APB=∠PAE，∴EA=EP．设EA=EP=x，则EM=6-x,AM=AB=4，在Rt△AME中，42+（6﹣x）2=x2，解得：x=．∴EA=EP=DF=,∴EF=12﹣2×=．∵EF∥MN(已证），∴△PEF∽△PMN．∴，即，解得：MN=．