Question

.如图 1，B、D 分别是 x 轴和 y 轴的正半轴上的点，AD∥x 轴，AB∥y 轴(AD>AB)，点 P 从 C 点出发，以 3cm/s 的速度沿 C−D−A−B 匀速运动,运动到 B 点时终止；点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度，沿 B−C−D 匀速运动，运动到 D 点时终止.P、Q 两点同时出发， 设运动的时间为 t(s)，△PCQ 的面积为 S(cm²)，S 与 t 之间的函数关系由图 2 中的曲线段 OE，线段 EF、FG 表示.

(1)求 AD 点的坐标；

(2)求图2中线段FG的函数关系式；

(3)是否存在这样的时间 t，使得△PCQ 为等腰三角形?若存在，直接写出 t 的值；若不存在， 请说明理由.

Answer

（1） D（0,3）, A（6,3）；（2） ；（3），，

【解析】

（1）由图象可知CD=3×1=3，设AD=BC=a，根据点Q到达点C时，点P到达点A，列出方程即可求出a．

（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，由此即可解决问题．

（3）分三种情形讨论：①Q在BC上，P在CD上时，列出方程即可；

②Q在BC上，P在AD上时，由CP=CQ得6﹣2t，整理得5t2+6t﹣18=0解方程即可；

由PQ=CQ得6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18=0，△＜0，无解．当PC=PQ得6﹣2t=2（3t﹣3），解得t；

③Q在CD上，P在AB上时，由CP=PQ列出方程即可．

（1）设AD=BC=a，由图象可知CD=AB=3，点Q到达点C时，点P到达点A，否则P、Q继续运动时，S与t的函数图象不是直线，∴，∴a=6，∴点A坐标（6，3），点D坐标（0，3）．

（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，∴S•CQ•6=3CQ=3（2t﹣6）=6t﹣18．

（3）分三种情况讨论：

①Q在BC上，P在CD上时，由CP=CQ得6﹣2t=3t，解得：t（不合题意舍弃，1）；

②Q在BC上，P在AD上时，由CP=CQ得：6﹣2t，整理得5t2+6t﹣18=0，t或（舍弃）．

由PQ=CQ，如图1．

作PK⊥OB于K，则DP=OK=3t﹣3，KQ=6﹣2t﹣（3t﹣3）=9﹣5t，∴PQ，∴6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18=0，△＜0，无解．

当PC=PQ．如图2．

作PK⊥OB于K，则OK=KQ=DP，∴OQ=2DP，∴6﹣2t=2（3t﹣3），解得t；

③Q在CD上，P在AB上时，由CP=PQ，如图3．

作PK⊥OD于K，则KQ=OK=PB，∴2PB=OQ，∴2（12﹣3t）=2t﹣6，解得：t．

综上所述ts或s或s时，△PCQ为等腰三角形．