Question

如图，矩形ABCD，AB=2，BC=10，点E为AD上一点，且AE=AB，点F从点E出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．

（1）试说明：△ABG∽△EBF；

（2）当点H落在直线CD上时，求t 的值；

（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）HC最小值是

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；

（2）构建如图2平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；

（3）由（2）可知H（2t，4t），令x=2t，y=4t，消去t得到y．推出点H在直线y上运动，根据垂线段最短即可解决问题．

（1）如图1．

∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴．

∵∠ABE=∠GBF=45°，∴∠ABG=∠EBF，∴△ABG∽△EBF．

（2）如图2构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．

∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG=FH，∠GNF=∠GFH=∠HMF=90°，∴∠GFN+∠HFM=90°，∠HFM+∠FHM=90°，∴∠GFN=∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN=FM，FN=HM．

∵△ABG∽△EBF，∴，∠AGB=∠EFB．

∵∠AKG=∠BKF，∴∠GAN=∠KBF=45°．

∵EF=t，∴AGt，∴AN=GN=FMt，∴AM=2t，HM=FN=2t，∴H（2t，4t），当点H在直线CD上时，2t=10，解得：t．

（3）由（2）可知H（2t，4t），令x=2t，y=4t，消去t得到y，∴点H在直线y上运动，如图3，作CH垂直直线y垂足为H．

根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y=﹣3x+30，由，解得：，∴H（8，6）．

∵C（10，0），∴CH，∴HC最小值是2．