Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．

（1）求证：∠A=2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O切线，∴∠ODB=90°。

∴BE=OE=OD=2。 

∴∠B=30°，∠DOB=60°。

∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°。

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°。∴∠A=2∠DCB。

（2）∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，

∴阴影部分的面积

【解析】

试题（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案。

（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案。