Question

问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：△EFC的面积__________，△ADE的面积______________．

探究发现（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE与BC间的距离为．请证明．

拓展迁移（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

Answer

（1），，（2）（3）18

【解析】试题（1）△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADE的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；

（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是平行四边形，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=n2：m2，由于S1=nh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=mh，容易证出结论；

（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求▱DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．

试题解析：（1）S1=×6×3=9，

过A作AH⊥BC，交DE于G，

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DEFB是平行四边形，

∴DE=BF=2，

∵DE∥BC，

∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

解得：AG=1，

∴S2=×DE×AG==1，

（2）∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，

∴△ADE∽△EFC，

∴，

∵S1=nh，

∴S2=×S1=，

∴4S1S2=4×nh×=（mh）2，

而S=mh，

∴S2=4S1S2；

（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，

∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF，

∴BH=EF，

∴BE=HF，

在△DBE和△GHF中，

∴△DBE≌△GHF（SAS），

∴△GHC的面积为7+5=12，

由（2）得，平行四边形DBHG的面积S为=12，

∴△ABC的面积为3+12+12=27．