Question

如图，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

Answer

（1）b=+c；B的横坐标为-2c；（2）抛物线的解析式为y=x2-x-2；（3）11.

【解析】试题本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

（1）将A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出-1•xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1-2c，1-c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=-x+c，求出c=-2，进而得到抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2-x-2），则点F坐标为（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PF•OB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4，则0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=-x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．

试题解析：（1）b=c+，点B的横坐标为-2c．

（2）由y=x2+（c+）x+c=（x+1）（x+2c），设E（x，（x+1）（x+2c））．

如图1，过点E作EH⊥x轴于H．

由于OB=2OC，当AE//BC时，AH=2EH．

所以x+1=（x+1）（x+2c）．因此x=1-2c．所以E（1-2c，1-c）．

当C、D、E三点在同一直线上时，．所以=．

整理，得2c2＋3c-2=0．解得c=-2或c=（舍去）．

所以抛物线的解析式为y=x2-x-2．

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F，如图2．

直线BC的解析式为y=x-2．

设P（m，m2-m-2），那么P（m，m-2），FP=-m2+2m．

所以S△PBC=S△PBF＋S△PCF=FP（xB-xC）=2FP=-m2+4m=-（m-2）2+4．

因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．

当P在BC上方时，因为S△ABC=5，所以S△PBC＜5．

综上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．