Question

如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

Answer

1）DE是⊙O的切线；（2）．

【解析】

试题（1）连接OD，根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，从而得出△OBD是等边三角形，∠BOD=∠C，再证OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；

（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=2，再利用三角函数即可求出FH．

试题解析：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：

连接OD，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOD=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OF，如图2所示：∵OC=OF，∠C=60°，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC=BC=AB=2，∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°，∴FH=CF•sin∠C=2×=．