Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝BC，DF⊥AE，垂足是F，连接DE．

求证：（1）DF＝AB；

（2）DE是∠FDC的平分线．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由矩形的性质得出AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，得出∠DAF＝∠AEB，证出AD＝AE，由AAS证明△ADF≌△EAB，即可得出结论；

（2）由HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得出对应角相等∠EDF＝∠EDC，即可得出结论．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，

∴∠DAF＝∠AEB，

∵AE＝BC，

∴AD＝AE，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD＝∠DFE＝90°，

∴∠AFD＝∠B，

在△ADF和△EAB中，

∴△ADF≌△EAB（AAS），

∴DF＝AB；

（2）∵DF＝AB，AB＝DC，

∴DF＝DC，

在Rt△DEF和Rt△DEC中，

∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），

∴∠EDF＝∠EDC，

∴DE是∠FDC的平分线．