Question

在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别为，），射线，分别交直线于点，．

（1）如图1，当与重合时，求的度数；

（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；

（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）存在，的最小值为．

【解析】

（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，进而得到BC＝，依据∠A'BC＝90°，可得，即可得到∠A'CB＝30°，∠ACA'＝60°；

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A＝∠A'CM，进而得到PB＝BC＝，依据tan∠Q＝tan∠A＝，即可得到BQ＝BC×＝2，进而得出PQ＝PB+BQ＝；

（3）依据S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．

【解析】
（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，

∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，m∥AC，

∴∠A'BC＝90°，

∴cos∠A'CB＝，

∴∠A'CB＝30°，

∴∠ACA'＝60°；

（2）∵M为A'B'的中点，

∴∠A'CM＝∠MA'C，

由旋转可得，∠MA'C＝∠A，

∴∠A＝∠A'CM，

∴tan∠PCB＝tan∠A，

∴，

∵∠BQC＝∠BCP＝∠A，

∴tan∠BQC＝tan∠A＝，

∴BQ＝BC×＝2，

∴PQ＝PB+BQ＝；

（3）∵S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，

∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴，

法一：（几何法）取PQ的中点G，

∵∠PCQ＝90°，

∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，

当CG最小时，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，

∴CGmin＝，PQmin＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣；

法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，

由射影定理得：xy＝3，

∴当PQ最小时，x+y最小，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，

当x＝y＝时，“＝”成立，

∴PQ＝+＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．