Question

在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上．

（1）求直线的函数表达式；

（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为点，与直线的另一个交点为点，与轴的右交点为点（点不与点重合），连接，．

①如图，在平移过程中，当点在第四象限且的面积为60时，求平移的距离的长；

②在平移过程中，当是以线段为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点的坐标．

Answer

（1）；（2）①，②或．

【解析】

（1）利用配方法将抛物线表达式变形为顶点式，由此可得出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；

（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，利用一次函数图象上点的坐标特征结合点C在x轴上且点C不与点A′重合，可得出m＞﹣1．

①联立直线和抛物线的表达式成方程组，通过解方程组可求出点B′的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点C作CD∥y轴，交直线A′B′于点D，由点C的坐标可得出点D的坐标，利用S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝60，即可得出关于t的方程，利用换元法解方程组即可得出m的值，进而可得出点A′的坐标，再由点A的坐标利用两点间的距离公式即可求出结论；

②根据点A′、B′、C的坐标，可得出A′B′、A′C、B′C的长度，分∠A′B′C＝90°及∠B′A′C＝90°两种情况，利用勾股定理可得出关于m的方程，利用换元法解方程即可求出m的值，进而可得出点A′的坐标，此题得解．

（1）∵y＝﹣6x+4＝（x﹣6）2﹣14，

∴点A的坐标为（6，﹣14）．

∵点A在直线y＝kx﹣2上，

∴﹣14＝6k﹣2，解得：k＝﹣2，

∴直线的函数表达式为y＝﹣2x﹣2．

（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2．

当y＝0时，有﹣2x﹣2＝0，

解得：x＝﹣1，

∵平移后的抛物线与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），

∴m＞﹣1．

①联立直线与抛物线的表达式成方程组，

解得： ， ，

∴点B′的坐标为（m﹣4，﹣2m+6）．

当y＝0时，有（x﹣m）2﹣2m﹣2＝0，

解得：x1＝m﹣2，x2＝m+2，

∴点C的坐标为（m+2，0）．

过点C作CD∥y轴，交直线A′B′于点D，如图所示．

当x＝m+2时，y＝﹣2x﹣2＝﹣2m﹣4﹣2，

∴点D的坐标为（m+2，﹣2m﹣4﹣2），

∴CD＝2m+2+4．

∴S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝CD•[m+2﹣（m﹣4）]﹣CD•（m+2﹣m）＝2CD＝2（2m+2+4）＝60．

设t＝，则有t2+2t﹣15＝0，

解得：t1＝﹣5（舍去），t2＝3，

∴m＝8，

∴点A′的坐标为（8，﹣18），

∴AA′＝．

②∵A′（m，﹣2m﹣2），B′（m﹣4，﹣2m+6），C（m+2，0），

∴A′B′2＝（m﹣4﹣m）2+[﹣2m+6﹣（﹣2m﹣2）]2＝80，A′C2＝（m+2﹣m）2+[0﹣（﹣2m﹣2）]2＝4m2+12m+8，B′C2＝[m+2﹣（m﹣4）]2+[0﹣（﹣2m+6）]2＝4m2﹣20m+56+16．

当∠A′B′C＝90°时，有A′C2＝A′B′2+B′C2，即4m2+12m+8＝80+4m2﹣20m+56+16，

整理得：32m﹣128﹣16＝0．

设a＝，则有2a2﹣a﹣10＝0，

解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝，

∴m＝，

∴点A′的坐标为；

当∠B′A′C＝90°时，有B′C2＝A′B′2+A′C2，即4m2﹣20m+56+16＝80+4m2+12m+8，

整理得：32m+32﹣16＝0．

设a＝，则有2a2﹣a＝0，

解得：a3＝0（舍去），a4＝，

∴m＝﹣，

∴点A′的坐标为．

综上所述：在平移过程中，当△A′B′C是以A′B′为一条直角边的直角三角形时，点A′的坐标为或．