Question

矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．

（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

（2）连接EF、AB，求证：EF∥AB；

（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

Answer

（1）E（4，4）；（2）见解析；（3）y＝

【解析】

（1）首先确定点F坐标，求出反比例函数解析式，再根据解析式求得点E坐标即可；

（2）连接AB，分别求出∠EFC，∠ABC的正切值即可解决问题；

（3）先作出辅助线判断出Rt△MEG∽Rt△BGF，再确定出点E，F坐标进而EG＝8﹣，GF＝4﹣，求出BD，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出结论；

【解析】
（1）∵四边形OACB是矩形，OB＝8，OA＝4，

∴C（8，4），

∵点F是BC中点，

∴F（8，2），

∵点F在y＝上，

∴k=16，反比例函数解析式为y＝

∵点E在反比例函数图像上，且E点的纵坐标为4，

∴4＝

∴x=4

∴E（4，4）．

（2）连接AB，设点F（8，a），

∴k＝8a，

∴E（2a，4），

∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，

在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝2，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝2，

∴tan∠EFC＝tan∠ABC，

∴∠EFC＝∠ABC，

∴EF∥AB．

（3）如图，

设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的G点处，

∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，

∴∠MGE+∠FGB＝90°，

过点E作EM⊥OB，

∴∠MGE+∠MEG＝90°，

∴∠MEG＝∠FGB，

∴Rt△MEG∽Rt△BGF，

∴，

∵点E（，4），F（8，），

∴EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝4﹣，

∴EG＝EC＝8﹣，GF＝CF＝4﹣，

∵EM＝4，

∴，

∴GB＝2，

在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2，

即：（4﹣）2＝（2）2+（）2，

∴k＝12，

∴反比例函数表达式为y＝ ．