Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有

A．5个      B．4个      C．3个      D．2个

Answer

B

【解析】

试题∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°。

∵在△APE和△AME中，，

∴△APE≌△AME。故①正确。

∴PE=EM=PM。

同理，FP=FN=NP。

∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE。

∴四边形PEOF是矩形。∴PF=OE。∴PE+PF=OA。

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC。故②正确。

∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF。

在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2。故③正确。

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是。故④错误；

∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形，

∴PM=PN。

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点。故⑤正确。

综上所述，正确的结论有①②③⑤四个。故选B。