Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．

Answer

（1）见解析；（2）BC＝

【解析】

（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；

（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．

（1）证明：连接OD，

∵DE是切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADE+∠BDO＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠BDO，

∴∠ADE＝∠A．

（2）【解析】
连接CD．

∵∠ADE＝∠A，

∴AE＝DE，

∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，

∴EC是⊙O的切线，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC，

∵DE＝5，

∴AC＝2DE＝10，

在Rt△ADC中，DC＝6，

设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，

∴x2+62＝（x+8）2﹣102，

解得x＝，

∴BC＝．