Question

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称　　　　　　；

（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．

（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接AD、DC，则∠DCB=　　　　　　°，四边形ABCD是勾股四边形．

Answer

（1）矩形；正方形（答案不唯一）；（2）详见解析：（3，4）或（4，3）；（3）详见解析

【解析】

试题（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；

（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；

（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；

（4）连接CE，证明△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．

试题解析：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形；

（2）如图1所示：M（3，4），M（4，3）；

（3）如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60，

∴△CBE为等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60，

∵∠DCB=30，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四边形ABCD是勾股四边形．

（4）如图3，当∠DCB=，四边形ABCD是勾股四边形，

理由：连接CE，

由旋转得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

又∵∠CBE=α，

∴∠BCE=∠BEC=90°-，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四边形ABCD是勾股四边形