Question

如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．

（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．

（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．

      

Answer

（1）（3，4）（2）点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）

【解析】

（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，假设出P点坐标，在每种情况中再分情况讨论，分别求出点P关于x轴和y轴的对称点，代入直线解析式列出方程即可解决问题；

（1）∵点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，

∴∠DCB>90°，即PD为最长边，

∵PD=CD，

∴点P与点C重合，

∵CD＝AB=6，D（-3，4），

∴点P坐标为（3，4）．

（2）①当点P在边AD上时，

∵A（1，-4），D（-3，4），

∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，

设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，

∴点P关于x轴的对称点为Q1（a，2a+2），

∵Q1在直线y＝x﹣1上，

∴2a+2＝a﹣1，

解得a＝﹣3，

此时P（﹣3，4）．

∵点P关于y轴的对称点为Q3（﹣a，﹣2a﹣2），且Q3在直线y＝x﹣1上时，

∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，

解得a＝﹣1，

此时P（﹣1，0）

②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，

∵P关于x轴的对称点为Q2（a，4），且Q2在直线y＝x﹣1上，

∴4＝a﹣1，

解得a＝5，

此时P（5，﹣4），

∵点P关于y轴的对称点为Q4（﹣a，﹣4），且Q4在直线y＝x﹣1上，

∴﹣4＝﹣a﹣1，

解得a＝3，

此时P（3，﹣4），

综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．