Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）连接OC交DE于F，若OF＝FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）3.

【解析】

（1）求出∠CDB＝90°，推出DE＝BE，得到∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，推出∠ODE＝90°即可；

（2）连接OE，证正方形DEBO，推出OB＝BE，推出∠EOB＝45°，根据平行线的性质推出∠A＝45°即可；

（3）设AD＝x，CD＝2x，证△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出AB即可．

【解析】
如右图所示，连接BD，

（1）∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵O是AB的中点，

∴OA＝OB＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD，

同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，

∴∠EDB＝∠EBD，

∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，

∴∠OAD＝∠CBD，

∴∠ODA＝∠EBD，

又∵∠ODA+∠ODB＝90°，

∴∠EBD+∠ODB＝90°，

即∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．

理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，

∴EF是三角形OBC的中位线，

∴EF∥AB，

DE⊥BC，

OB＝OD，四边形OBED是正方形，

连接OE，

OE是△ABC的中位线，OE∥AC，

∠A＝∠EOB＝45度，

∴∠A＝∠ACB＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴△ACB是等腰直角三角形．

（3）设AD＝x，CD＝2x，

∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，

∴△CDB∽△CBA，

∴，

∴，

x＝2，

AC＝6，

由勾股定理得：AB＝＝6，

∴圆的半径是3．

答：⊙O的半径是3．