Question

已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．

（1）如图1，若∠PCB＝∠A．

①求证：直线PC是⊙O的切线；

②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；

（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．

Answer

(1) ①见解析；②2；(2)3.

【解析】

（1）①由等腰三角形的性质和圆周角定理可得OC⊥CP，即可得出结论；

②根据圆周角定理及三角形内角和定理得出∠P=30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得出结论；

（2）根据圆周角定理可证△AMC∽△NMA，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

（1）①∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．

∵∠PCB=∠A，∴∠ACO=∠PCB．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．

∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．

②∵CP=CA，∴∠P=∠A，∴∠COB=2∠A=2∠P．

∵∠OCP=90°，∴∠P=30°．

∵OC=OA=2，∴OP=2OC=4，∴PC==；

（2）连接MA、MB．

∵点M是弧AB的中点，∴AM=BM，∴∠ACM=∠BAM．

∵∠AMC=∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2=MC•MN．

∵MC•MN=9，∴AM=3，∴BM=AM=3．