Question

如图甲，抛物线y＝ax²+bx﹣1经过A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式和直线BC的表达式．

(2)如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．

①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

(1)y＝x2﹣x﹣1；y＝x﹣1；(2)①当x＝1时，S最大值为2；②点P坐标为(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

(1)设：二次函数的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，即可求解；

(2)①S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三种情况分别求解即可．

【解析】
(1)二次函数的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，

即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，点C(0，﹣1)，

则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，

将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，

故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；

(2)①设点P(x， x2﹣x﹣1)，则点D(x， x﹣1)，

S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB

＝×3×1+×2(x﹣1﹣x2+x+1)＝﹣x2+x+，

∵﹣<0，

故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；

②设点D坐标为(m， m﹣1)，

则CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+(m﹣1)2＝m2﹣m+1，

当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，

同理可得：

当CD＝OD时，m＝1，

当OC＝OD时，m＝，

则点P坐标为(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．