Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．

(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；

(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；

(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）60°；（2）PQ＝；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝3﹣

【解析】

（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC，依据∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PBBC，依据tan∠Q=tan∠A，即可得到BQ=BC2，进而得出PQ=PB+BQ；

（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，即可得到S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQPQ×BCPQ，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．

（1）由旋转可得：AC=A'C=2．

∵∠ACB=90°，AB，AC=2，∴BC．

∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A'BC=90°，∴cos∠A'CB，∴∠A'CB=30°，∴∠ACA'=60°；

（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM=∠MA'C，由旋转可得：∠MA'C=∠A，∴∠A=∠A'CM，∴tan∠PCB=tan∠A，∴PBBC．

∵∠BQC=∠BCP=∠A，∴tan∠BQC=tan∠A，∴BQ=BC2，∴PQ=PB+BQ；

（3）∵S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，∴S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQPQ×BCPQ，

取PQ的中点G．

∵∠PCQ=90°，∴CGPQ，即PQ=2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CGmin，PQmin=2，∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B'Q=3；