Question

将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形 ABCD.

(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；

(2)如果两张矩形纸片的长都是 8，宽都是 2.那么菱形 ABCD 的周长是否存在最大值或最小值?如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）2；．

【解析】

试题本题考查了菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力．

（1）由AD∥BC，DC∥AB，可得四边形ABCD是平行四边形．然后分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得AE=DF，又由面积问题，可得BC=AB，即可得四边形ABCD为菱形； （2）由题意可判断，当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，△DCB的面积最小值为2．当AC为矩形纸片的对角线时，△DCB的面积最大值为．

试题解析：（1）如图，∵AD∥BC，DC∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．

∵两张矩形纸片的宽度相等，

∴AE=DF，

又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD，

∴BC=AB，

∴▱ABCD是菱形；

（2）存在最小值和最大值．

①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，宽最小值为2，△DCB的面积最小值为×2×2=2；

②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．如图，

在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，

即x2=（8-x）2+22，x=．

∴面积最大值为××=．