Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．

（1）猜想四边形EGFH是什么特殊的四边形，并说明理由；

（2）当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由；

（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系．直接写出结果____________.

Answer

（1）菱形；（2）∠ABC+∠DCB=90°；（3）∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°

【解析】

（1）根据三角形中位线的性质得到EGAB，EHCD，HFAB，EG∥AB，HF∥AB，根据菱形的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根据平角的定义得到∠GFH=90°，于是得到结论；

（3）由平行线的性质得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根据平角的定义即可得到结论．

（1）四边形EGFH是菱形．理由如下：

∵E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，

∴EGAB，EHCD，HFAB，EG∥AB，HF∥AB，

∴四边形EGFH是平行四边形，EG=EH，

∴四边形EGFH是菱形；

（2）当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形，

理由：∵GF∥CD，HF∥AB，

∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB．

∵∠ABC+∠DCB=90°，

∴∠GFH=90°，

∴菱形EGFH是正方形；

（3）当∠ABC+∠DCB＜180°时，∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．

理由如下：

∵GF∥CD，HF∥AB，

∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB．

∵∠BFG+∠GFH+∠HFC=180°，

∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．

当∠ABC+∠DCB=180°时，∠GFH=0°，四边形EGFH不存在，∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°；

当∠ABC+∠DCB＞180°时，∠GFH+∠ABC﹣∠DCB=180°．

综上所述：∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°．