Question

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．

（1）求b的值；

（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；

（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．

Answer

（1）；

（2）M(1, )；

（3）当四边形OMDN是菱形时，M(, )N(, )

【解析】

（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．

本题解析：(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，

把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b，

解得：b=3；

(2) ，

∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，

∴ .

设M的横坐标是a,则 ×3a=1.5，解得：a=1,

把x=a=1代入y=x+3得y=×+3= .

则M的坐标是(1, )；

(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，

则M的坐标是(, )，

则N的坐标是(−, )；

当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3,设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，

解得：m=或0(舍去).

则M的坐标是(, ).

则DM的中点是( ,).

则N的坐标是(,).

故N的坐标是(−,)或(,).