Question

四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（C、E、F、G按顺时针排列），连接BF.

（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；

（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1，求BF的长；

（3）若BG3,请求出此时AE的长.

Answer

（1）；（2）；（3）AE的长为1或2+．

【解析】

（1）作FH⊥AB于H，由AAS证明△EFH≌△CED，得出FH=CD=4，AH=AD=4，求出BH=AB+AH=8，由勾股定理即可得出答案；

（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，则FM=AH，AM=FH，①同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH=DE=3，EH=CD=4即可；

②求出BM=AB+AM=7，FM=AE+EH=5，由勾股定理即可得出答案；

（3）分两种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH=DE=4+AE，EH=CD=4，得出FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同理得AE的长．

（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：

则∠FHE=90°，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，

∴∠FEH=∠CED，

在△EFH和△CED中，

，

∴△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=CD=4，AH=AD=4，

∴BH=AB+AH=8，

∴BF=；

（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：

则FM=AH，AM=FH，

①∵AD=4，AE=1，∴DE=3，

同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=DE=3，EH=CD=4，

∴BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，

∴BF=；

（3）分两种情况：

①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：

同（1）得：△EFH≌△CED，

∴FH=DE=AE+4，EH=CD=4，

∴FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，

由勾股定理得：（4-AE）2+（8+AE）2=（3）2，

解得：AE=1或AE=-5（舍去），

∴AE=1；

②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：

同理得：AE=2+或2-（舍去）．

③当点E在AD上时，可得：（8-AE）2+（4+AE）2=90，

解得AE=5或-1，

5＞4不符合题意．

综上所述：AE的长为1或2+．